「数学Ⅰ」その６ - ひまつぶしと趣味の記録

複素数、電気回路で昔々でてきたなあ。。

第３章　方程式・不等式
- １２　複素数
  - a+biで表される数。aを実部、bを虚部という(biを虚部とはいわない)。
  - 複素数は実数を含む（aだけのとき。b=0)。 $b\neq0$ のときは虚数。biだけのときは純虚数。
  - 相当：a+bi=c+di $\Leftrightarrow$ a=c , b=d （実部、虚部がそれぞれ一致）。
  - 複素数の絶対値は、|z|= $\sqrt{a^2+b^2}$ 。
  - 複素数の定理：複素数α,βについて、αβ=0ならばα=0またはβ=0。
  - 共役複素数の性質（共役複素数例：となど）
    - $\overline{α+β}=\overline{α}+\overline{β}$
    - $\overline{α-β}=\overline{α}-\overline{β}$
    - $\overline{αβ}=\overline{α}\overline{β}$
    - $\overline{(\frac{α}{β})}=\frac{\overline{α}}{\overline{β}}$
- １３　２次方程式（２次方程式の2つの解をα、β、判別式をDとする）
  - 解の公式：、b=2b'なら
    - 解の公式は、 $ax^2+bx+c=0$ から平方完成で導くこと。
    - 重解のときは、 $-\frac{b}{2a}$ 。b=2b'のときは $-\frac{b'}{a}$ 。
    - D>0で異なる2実数解（2実根）、D=0で住改（重根、重複解）、D<0で異なる2虚数解（共役虚数解）。
  - ２次方程式は、因数分解、平方完成、解の公式で処理。
- １４　解と係数の関係（p.72参照。。）
  - 解と係数の関係：、
    - 解と係数の関係は、解の公式から導くこと。（普通のときと、b=2b'の時の2パターン）。
  - $ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)$ は、解と係数の関係から導く。
  - 完全平方の条件： $ax^2+bx+c=a(x-α)^2 \Leftrightarrow α=β \Leftrightarrow D=0$
  - 和がp、積がqの2数 $\Leftrightarrow t^2-pt+q=0$ の2つの解。
  - 単に「因数分解せよ」という場合には、簡単なものを除いて、係数は有理数の範囲に限定すると思ってよい、らしい。

その他関連

a,bの対称式は、基本対称式a+b,abであらわされる。
- $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
- $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$
- $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
- $a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$
2つの解の間の関係から、係数や解を決定する問題にて。下記と置いてみるとよい。
- 解の比が3:(-1)⇒3α、-2α（α≠0）、
- 他の平方⇒ $α$ 、 $α^2$
は、強引に平方完成すると一番シンプルに導ける。相当利用でも可。
- $\sqrt{i}=\frac{\sqrt{2i}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{1+2i+i^2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{(1+i)^2}}{\sqrt{2}}=\pm\frac{1+i}{\sqrt{2}}$
ユークリッド平面（２次元のユークリット空間）。ユークリッド空間はまがっていない。
ガウス平面（複素平面）は、複素数の幾何学的表現（直交座標の位置に、複素数を対応させた平面）
ユークリッド距離は、スカラー量である。
代数：文字式などで計算の法則・方程式の解法などを研究する。
幾何：図形や空間の性質を研究する。
代数幾何：代数的に定義された多様体の性質を研究する数学の一分野とのこと。
★平方完成はとても便利。。