ひまつぶしと趣味の記録

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「数学Ⅰ」その８

数学

- 16　高次方程式
  - 解で $\sqrt{i}$ があってはダメ。ちゃんとiからルートはずした形にすること。
  - 方程式なので、両辺にかけたり割ったりが自由にできる。うまくシンプルかすること。
    - 割るときには、0でないことを確認すること。
  - 逆数方程式
    - $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$ 　 $a\neq0$ のように、係数がa,b,c,b,aと左右対称である整方程式を逆数方程式（相反方程式）という。
    - このとき $x=α$ が解ならば $aα^4+bα^3+cα^2+bα+a=0$ ( $a\neq0なので、α=0ではない。a=0となってしまうから$ )。
    - そこで $α^4$ でわって $a\frac{1}{α^4}+b\frac{1}{α^3}+c\frac{1}{α^2}+b\frac{1}{α}+a=0$ 。したがって $\frac{1}{α}$ （αの逆数）もまた解となる。
  - 1の3乗根：1,ω,。
    - 重要は下記。
      - $ω^3=1$
      - $ω^2+ω+1=0$
      - $ω^{2n}+ω^n+1=0,3$
        
        $ω^2$ とωが共役なのはたまたま？ $ω^2$ は2乗の意味。 $x^3=1$ を因数分解後、解の公式で求める。
        
        $a^3$ の3乗根は、a,aω,a $ω^2$ である。
        
        下記は解と係数の関係から示されるもの。
        
        $x^2+x+1=0$ の2つの解なので、解と係数の関係から、 $ω+ω^2=-1$ 、 $ω*ω^2=1$ 。よって $ω^2+ω+1=0$ 、 $ω^3=1$ が示される。
        
        $ω^n$ について、1,ω, $ω^2$ , $ω^3=1$ , $ω^4=ω^3*ω=ω$ , $ω^5=ω^2$ , $ω^6=1$ , $ω^7=ω$ , $ω^8=ω^2$ , $ω^9=1$ ,・・・一般に次のことが言える。
        
        n=3,6,9・・・すなわち n=3m（mは自然数）のとき
        
        $ω^n=1$
        
        $ω^{2n}+ω^n+1=3$
        
        n=1,4,7・・・すなわち n=3m-2（mは自然数）のとき
        
        $ω^n=ω$
        
        $ω^{2n}+ω^n+1=0$
        
        n=2,5,8・・・すなわち n=3m-1（mは自然数）のとき
        
        $ω^n=ω^2$
        
        $ω^{2n}+ω^n+1=0$