「数学Ⅰ」その１１ - ひまつぶしと趣味の記録

虚数には実数のような大小関係はないとのこと。
負の数で割ると不等号の向きが変わる。
２次不等式の解の範囲は、グラフの形で覚えておく。３次も同様。

- 18　大小関係と１次不等式
  - 基本事項
    - 大小関係の基本性質
      - ①a , bについては, a＞b , a＝b , a＜b のどれか1つが成り立つ
      - ②c＜b , b＜a ＝＞ c＜a
      - ③b＜a ＝＞ b+m＜a+m
      - ④a＞b のとき m＞0 ならば am＞bm m＜0ならば am＜bm
    - 一次不等式とその解
      - ax＞b の解は a＞0のとき $x＞\frac{b}{a}$ , a＜0 のとき $x＜\frac{b}{a}$
  - 絶対値
    - ①場合に分けよ。分けたら締めくくりを
    - ②便法をいかせ。
      - |A|=B ⇔ B≧0 , A=±B
      - |A|＜B ⇔ -B＜A＜B
      - |A|＞B ⇔ A＞B または -A＞B　＜＝これだけ、Bが0以上の保証ない。
  - 割る
    - 文字ではうっかり割るな
    - 不等式では割る数の符号
- 19　２次不等式
  - ２次不等式の解法
    - ① $ax^2+bx+c＞0$ （または＜０、≧0、≦0）の形に整理する
    - ② $ax^2+bx+c$ を因数分解して、次の③などを利用する。
    - ③α＜βとする
      - (x-α)(x-β)＞0 ⇔ x＜α、β＜x
      - (x-α)(x-β)＜0 ⇔ α＜x＜β
  - 特殊な２次不等式
    - 1.
      - ① $(x-α)^2＞0$ の解はx＜αおよびα＜x。 $(x-α)^2≧0$ の解はすべて実数
      - ② $(x-α)^2＜0$ の解はない。 $(x-α)^2≦0$ の解はx=α
    - 2. a≠0とする。[D=は、2次方程式の判別式]
      - 常に $ax^2+bx+c＞0$ ⇔ a＞0、D＜0 （常に・・・≧0 ⇔ a＞0、D≦0）
      - 常に $ax^2+bx+c＜0$ ⇔ a＜0、D＜0 （常に・・・≦0 ⇔ a＜0、D≦0）
        
        定符号の２次式 $ax^2+bx+c$ (a≠0）の符号を、D＜0の場合について調べる。
        
        $ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{-D}{4a}$ と変形する（２次式の基本変形）。
        
        D＜0 であるから $\frac{-D}{4a}$ はaと同符号である。 $(x+\frac{b}{2a})^2$ 　は正か0
        
        よって　D＜0 のとき ①a＞0なら $ax^2+bx+c$ は常に正、②a＜0なら $ax^2+bx+c$ は常に負、すなわち、
        
        D＜0 なら $ax^2+bx+c$ の符号は定符号で、a＞0 なら正、a＜0 なら負
  - ３次不等式
    - α＜β＜γのとき
    - (x-α)(x-β)(x-γ)＞0 ⇔ α＜x＜β、γ＜x
    - (x-α)(x-β)(x-γ)＜0 ⇔ x＜α、β＜x＜γ
  - 2数α、βの符号、kとの大小関係
    - α、βの符号　α、βを実数とする（この条件を落とすな）
    - ともに正　α＞0、β＞0 ⇔ α+β＞0、αβ＞0
    - ともに負　α＜0、β＜0 ⇔ α+β＜0、αβ＞0
    - 異符号　　α＜0、β＞0　または α＞0、β＜0 ⇔ αβ＜0
  - α、βとkの大小関係　α、βを実数とする
    - ともにkより大　α＞k、β＞k ⇔ (α-k)+(β-k)＞0、(α-k)(β-k)＞0
    - ともにkより小　α＜k、β＜k ⇔ (α-k)+(β-k)＜0、(α-k)(β-k)＞0
    - kはα、βの間　α＜k＜β　または　β＜k＜α ⇔ (α-k)(β-k)＜0