ひまつぶしと趣味の記録

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「数学Ⅰ」その９

数学

チャート：似た問題　方法をまねる。
直前の問題の答えをうまく利用する。
式を変形し、次数が下がる等式を作って代入する技（例：α^4=2α^3+4α）
解の3乗が1になるケースを扱う問題が多かった（大学入試系？）

    • 16　高次方程式（の続き）
      • 整方程式の解と個数
        • n次方程式は、ちょうどn個の解をもつ（k重解はk個と数える）
        • 実係数の整方程式が虚数解 a+bi をもつと、共役複素数 a-bi も解
        • 実係数の奇数次の方程式は、少なくとも１つの実数解をもつ
        • 有理係数の整方程式が、解 p+q\sqrt{r}をもつと、p-q\sqrt{r}も解
      • 3次方程式の解と係数の関係：ax^3+bx^2+cx+d=0の３つの解がα、β、γ
        • α+β+γ=-\frac{b}{a}、βγ+γα+αβ=\frac{c}{a}、αβγ=-\frac{d}{a}
        • ax^3+bx^2+cx+d=a(x-α)(x-β)(x-γ)
      • 有用な展開式。。
        • α^2+β^2+γ^2=(α+β+γ)^2-2(βγ+γα+αβ)
        • α^3+β^3+γ^3=(α+β+γ)(α^2+β^2+γ^2-βγ-γα-αβ)+3αβγ
        • α^4+β^4+γ^4=(α^2+β^2+γ^2)^2-2(β^2γ^2+γ^2α^2+α^2β^2)

実係数の３次方程式は、実数解が1つ＋他の2つの共役複素数の場合と、実数解を3つもつ場合に分かれる。