「数学Ⅰ」その４ - ひまつぶしと趣味の記録

やっぱり、次数合わせ（中抜き忘れ）、書き写しミス、符号処理、ルート記号とかの式の整理中に不注意ミスが多い。。
簡単作業と油断しているが、ここ間違えるとかなり痛いので重要と認識し、もっと注意すべし。
あと、ユークリッドしたあとに、最大公約数求める除法実行するときに、間違って整数部をくくって取り出すな（やっていいのはユークリッド互除法のときだけ）。

○気づき
・素数と素因数（整式）を混同するな。
・有理数「rational number」は、「（整数の）比になる数」という意味。
・G.C.M.とL.C.M.は、定義を利用して問題解く（答えも複数パターンあるとき多し）。
・今は、G.C.Mは、G.C.D（greatest common divisor）というらしい。
・整数の場合、1とそれ自身以外に約数を持たない自然数を素数という。ただし、1は素数ではない。また、1以外に公約数をもたない2つの自然数は互いに素である。
・1は素数ではないが、G.C.M.にはなり得る。
・最小公約数という言葉は使う値打ちがない。公約数のうち一番小さい（正の）数は１に決まっている。
・ここまでの知識では、「いい組み合わせをいかに見抜けるか」にかかっている。
・大きくみて、使える公式の形になっていないか？ $()^3+()^3+()^3$ など。
・分数式は、2重根号はずし、有利化、通分の順番で！
・符号の入れ替えは、2乗の式が有効。 $x-\frac{1}{x}$ から、 $x+\frac{1}{x}$ が欲しいときなど。
・G.C.M.とL.C.M.の関係で、A=GA'、B=GB'と置けるが、「A'とB'は互いに素」ということ忘れるな！
・G.C.M.やL.C.M.などから元のAとBを求めるような問題で、パターンがいくつか発生する場合、x1のパターンを忘れがち。
・分数式と、分数係数の整式は違う。

第１章　数と式
- ５　最大公約数・最小公倍数
  - 素因数、互いに素
    - 整式Aが、Aと数以外の約数をもたないとき、Aを素因数という。
    - 整式A、Bが数以外に公約数をもたないとき、互いに素であるという。
  - G.C.M.とL.C.M.の関係【重要！】
    - A=GA'、B=GB'（A'とB'は互いに素）と置ける。
    - L=GA'B'=A'B=AB'、LG=AB
  - 約数・倍数
    - 整式ではkAもAと同じあつかい(kは0でない数）
      - 別扱いにすると、いろんなパターンがでてきてしまうため。
    - まず素因数分解
  - その他ポイント
    - マイナスは無視してよい（kとみる？）
    - G.C.M.の答えとして、1というときあった。
    - G.C.M.のmはmeasure（発音はメジャー）
    - L.C.M.＝＞least common multiple
    - 3数のG.C.M.とL.C.M.の求め方は、中学生で習うらしい。3つ並べて割っていくやつ。
    - 「2数の積」を「最大公約数」で割ったものが「最小公倍数」
  - ユークリッドの互除法
    - $A=BQ+R$ のとき、AとBのG.C.M.=BとRのG.C.M.
    - 進めばどんどん数が小さくなって最後割り切れる。そのときのB（商）がG.C.M.
    - （証明） $A=BQ+R$ より、 $R=A-BQ$ 。AとBのG.C.Mは、BとRのG.C.M.であると分かる。
    - 整式についてユークリッドの互除法を実行するときは、AもkAも同じ扱いであるから、割り算実行段階で、割りやすいように数kを掛けることができる。
- ６　分数式の計算
  - 指数法則(m、nは自然数とする）
    - $a^-n=\frac{1}{a^n}$
    - $a^0=1$
  - その他ポイント
    - 有理式。整数と分数を合わせて有理数という。同じように、整式と分数式を合わせて、有理式という。整式Pも $\frac{p}{1}$ とかけるから、有理式とは、 $\frac{B}{A}$ （A、Bは整式、 $A\neq0$ ）の形に表せる式である。
    - 繁分数式（QもPも分数）。
      - Q÷Pとして計算
      - P、Qに同じ式を掛けて二重分母をなくす
    - 分数式は富士の山（にしたほうが整理しやすい。）。整式の割り算にて。
    - 部分分数を使う
      - $\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$
      - $\frac{1}{x(x+a)}=\frac{1}{a}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+a})$

〇その他参考

$ab+bc+ca=\frac{1}{2}\left\{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)\right\}$
2乗のルートを外すときは、絶対値なので場合分け！
ルートを含む式が条件式の問題などは、2乗してから利用することが多い。
３つ以上の最大公約数、最小公倍数求める場合。
- 「aとbとcの最大公約数」＝「aとbの最大公約数」と「c」の最大公約数
- 「aとbとcの最小公倍数」＝「aとbの最小公倍数」と「c」の最小公倍数
通分の相性縁組は、通分後の分子が1になるように考える。
3つ以上の項がある分数式は、L.C.M.で通分するなど。