ひまつぶしと趣味の記録

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「数学Ⅰ」その７

数学

組み立て除法でてきた。。
解と係数の関係にて、 $ax^2+bx+c=0$ で、 $(x-α)(x-β)$ とやってしまう。aを忘れがち。 $a(x-α)(x-β)$ 。

- 15　因数定理。
  - 下記はすべて A(x) = B(x)・Q(x) + R(x) から求められる。やってみるべし。
    - 剰余定理：A(x)を1次式ax+bで割ったときの余りは、 $A(-\frac{b}{a})$
    - 因数定理：A(x)が1次式x-αで割り切れる　⇔　A(α)=0
    - 余りR(x)の次数は、割る式B(x)の次数より低いか、R(x)=0。
  - 割り算の問題
    - １．割れるなら割り算実行
    - ２．基本公式　余りの次数が決め手
  - 組み立て除法（P.84参照）
  - 因数分解は通常は有理係数の範囲。
  - 最高次の係数が1の整式A(x)の因数分解は、A(α)=0となるαの発見から。|α|は|定数項|の約数
    - たとえば $x^3+bx^2+cx+d=(x-α)(x^2+px+q)$ とすると、d=-αqで、d,α,qが整数なら、|α|は|d|の約数である。
  - nの問題は、n=1,2,・・・で検算すべし。
  - 重要公式（もう覚えれん。。）
    - $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+・・・・・+ab^{n-2}+b^{n-1})$
    - $a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^2-・・・・・-ab^{2n-1}+b^{2n})$
    - 特にb=1の場合である次の公式もよく利用されるらしい。
      - $x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+・・・・・+x+1)$
      - $x^{2n+1}+1=(x+1)(x^{2n}-x^{2n-1}+x^{2n-2}-・・・・・-x+1)$
    - $x^n-α^n$ は、x-αで割り切れる。
    - $x^{2n-1}+α^{2n-1}$ はx+αで割り切れる。