ひまつぶしと趣味の記録

おっさんが暇つぶしや趣味で勉強したことなどを記録する場所

「数学Ⅰ」その14

命題とその真偽:正しいか正しくないかの判定の対象となる文章や式を命題という。したがって、命題は真か偽かのいずれかである。

    • 23 必要・十分条件
      • 命題 p ⇒ q が真であるとき、qはp(であるため)の必要条件(足りてない)という。
      • 命題 p ⇒ q が真であるとき、pはq(であるため)の十分条件(足りてる)という。
      • 命題 p ⇒ q と 命題 q ⇒ p がともに真であるとき(p ⇔ p)、pとqは互いに他の必要十分条件、またpとqは同値であるという。


・命題の真偽:真なら証明しなければならず、偽であるなら反例を示せばよい。
・命題の逆は必ずしも真ならず。
・無理方程式:根号がとれるまで平方して整方程式に直し、解を求める。それらの解のうちで、与式を満たすものが求める解。
・証明の問題:結論からお迎えにいく。正面からだめなら背後(背理法)から。
・必要から十分へ:範囲をせばめて。適するものを選べ。予想して証明。必要条件から十分条件へ。

「数学Ⅰ」その13

平方してから差をとったり、式の整理、条件を変形して代入等、色々工夫が必要でムズイ。

    • 22 不等式の証明
      • 大小関係の基本 A,Bは実数
        • ①A>B ⇔ A-B>0
        • A^2 ≧ 0 等号成立は A=0のときに限る。
        • ②パート2:A^2+B^2≧0 等号成立は A=B=0のときに限る。
        • ③A≧0, B≧0 のとき A≧B ⇔ A^2≧B^2
        • ④|A|<B ⇔ -B<A<B
      • 相加平均と相乗平均
        • a≧0 , b≧0のとき \frac{a+b}{2}\sqrt{ab} 等号成立はa=bのときに限る。

・A≧0、B≧0ならば、A-B≧0を示す代わりにA^2-B^2≧0を示してもよい。
・相加平均、相乗平均の大小関係証明:(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≧0より変形にて。
・結果を利用、方法をまねる。
・簡単なケースをいきなり証明しだして、それをつかって証明する。
・多くの数の大小比較は、数値を代入してみて見当をつけること。

「数学Ⅰ」その12

虚数には実数のような大小関係はないとのこと。
負の数で割ると不等号の向きが変わる。
2次不等式の解の範囲は、グラフの形で覚えておく。3次も同様。

    • 20 恒等式
      • ①係数比較法
      • ②数値代入法
        • 未定係数を、数値代入法で決定したときは、恒等式の確認が必要(求めた係数をあてはめ、式変形などで一致するかみてみる必要がある)
    • 21 等式の証明
      • 等式A=Bの証明
        • ①Aを変形してBを導く。またはその逆を実施。
        • ②A,Bをそれぞれ変形して同じ式を導く。
        • ③A-Bを変形して、=0を示す。
      • 条件付きの等式の証明
        • ①条件の式を用いて文字を消去。
        • ②条件式が比例式なら =k とおく。

・次数を消す組み合わせ。
・どのようなaでもなりたつ=>aについて整理=>0かければよい。
・条件の式は、文字減らしの式
・証明の問題は、結論からお迎えにいく。
・比例式なら=kとおく
・文字でうっかり割るな。
・同じ形している式で、文字が違うだけならわざわざ計算しない。

教訓

変形時、代入時に元の式を間違って思い込んでいる。
書き写すだけとか、とても簡単な操作時に、確認せずに実施して間違ている(勘違いや見間違いなどが多いので確認要!)。
解らんときは、無駄になるだけならやってみた方が効率上がる。
よく見てない、小学生のようなミスあり。。

難しめの問題は、いい組み合わせをいかに見抜けるか?大局的にみて処理できるかの問題が多い。

「英文和訳演習 基礎編」その2

  • 2
    • habit of no noticing:...に気づかないという習慣を持っている
    • not only ...,but:~だけでなく、~だ。
    • introduce:紹介する
    • make reading their books more interesting:彼らの本を読むことをより興味深くする
    • Authors are good people to learn about:It is good to learn about authors.を基礎に考える。著者について知るのがよいことであるのは、
    • After reading what authors write about themselves,:著者が彼自身について書いたものを読んだあとは、
    • we can see:私たちは理解することができる
    • beliefs:信条
    • be reflected:反映される
    • communities:地域社会
    • communities much like your own:「あなた自身の地域社会に似ている」のlikeをmuchが強めている

「数学Ⅰ」その11

虚数には実数のような大小関係はないとのこと。
負の数で割ると不等号の向きが変わる。
2次不等式の解の範囲は、グラフの形で覚えておく。3次も同様。

    • 18 大小関係と1次不等式
      • 基本事項
        • 大小関係の基本性質
          • ①a , bについては, a>b , a=b , a<b のどれか1つが成り立つ
          • ②c<b , b<a => c<a
          • ③b<a => b+m<a+m
          • ④a>b のとき m>0 ならば am>bm m<0ならば am<bm
        • 一次不等式とその解
          • ax>b の解は a>0のとき x>\frac{b}{a} , a<0 のとき x<\frac{b}{a}
      • 絶対値
        • ①場合に分けよ。分けたら締めくくりを
        • ②便法をいかせ。
          • |A|=B ⇔ B≧0 , A=±B
          • |A|<B ⇔ -B<A<B
          • |A|>B ⇔ A>B または -A>B <=これだけ、Bが0以上の保証ない。
      • 割る
        • 文字ではうっかり割るな
        • 不等式では割る数の符号
    • 19 2次不等式
      • 2次不等式の解法
        • ax^2+bx+c>0(または<0、≧0、≦0)の形に整理する
        • ax^2+bx+c因数分解して、次の③などを利用する。
        • ③α<βとする
          • (x-α)(x-β)>0 ⇔ x<α、β<x
          • (x-α)(x-β)<0 ⇔ α<x<β
      • 特殊な2次不等式
        • 1.
          • (x-α)^2>0の解はx<αおよびα<x。 (x-α)^2≧0の解はすべて実数
          • (x-α)^2<0の解はない。 (x-α)^2≦0の解はx=α
        • 2. a≠0とする。[D=b^2-4acは、2次方程式ax^2+bx+c=0の判別式]
          • 常にax^2+bx+c>0 ⇔ a>0、D<0 (常に・・・≧0 ⇔ a>0、D≦0)
          • 常にax^2+bx+c<0 ⇔ a<0、D<0 (常に・・・≦0 ⇔ a<0、D≦0)
            • 定符号の2次式 ax^2+bx+c (a≠0)の符号を、D<0の場合について調べる。
            • ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{-D}{4a} と変形する(2次式の基本変形)。
            • D<0 であるから\frac{-D}{4a}はaと同符号である。(x+\frac{b}{2a})^2 は正か0
            • よって D<0 のとき ①a>0ならax^2+bx+cは常に正、②a<0ならax^2+bx+cは常に負、すなわち、
            • D<0 ならax^2+bx+cの符号は 定符号で、a>0 なら正、a<0 なら負
      • 3次不等式
        • α<β<γのとき
        • (x-α)(x-β)(x-γ)>0 ⇔ α<x<β、γ<x
        • (x-α)(x-β)(x-γ)<0 ⇔ x<α、β<x<γ
      • 2数α、βの符号、kとの大小関係
        • α、βの符号 α、βを実数とする(この条件を落とすな)
        • ともに正 α>0、β>0 ⇔ α+β>0、αβ>0
        • ともに負 α<0、β<0 ⇔ α+β<0、αβ>0
        • 異符号  α<0、β>0 または α>0、β<0 ⇔ αβ<0
      • α、βとkの大小関係 α、βを実数とする
        • ともにkより大 α>k、β>k ⇔ (α-k)+(β-k)>0、(α-k)(β-k)>0
        • ともにkより小 α<k、β<k ⇔ (α-k)+(β-k)<0、(α-k)(β-k)>0
        • kはα、βの間 α<k<β または β<k<α ⇔ (α-k)(β-k)<0

「英文和訳演習 基礎編」その1

  • 1
    • There are ~:無理に主語として訳さなくていい場合がある。
    • First of all:最初に
    • terrifies:terrifyの三人称単数。恐れさせる、怖がらせる。
    • won't:willnotの短縮形
    • 不定詞が名刺を修飾できるのは、両者の間に次のような関係が成立するときだけである。
      • 名詞と不定詞が意味の上で「主語+動詞」の関係になる場合
        • No friends were seen. -> I saw no friends.
      • 名詞と不定詞が意味の上で「目的語←他動詞」の関係になる場合
      • 名詞が不定詞に続く前置詞の目的語になる場合
    • anything:肯定文の中のanythingは「どんなものでも」「どんなことでも」の意味。
    • a muscle cramp:筋肉の収縮→筋肉がつること
    • beyond:~を越えて
    • S + know enough not to swim too far from the beach
      • Sは、浜辺からあまりに遠くまで泳ぐことはしないだけの十分な知識がある。
      • Sは、浜辺からあまりに遠くまで泳ぐような愚かなことはしない。
    • show off:よく見せる
    • by doing dangerous tricks:危険な芸当をすることによって、